Радиус-вектор частицы изменяется по закону: r= 3t2i + 4t2j + 7k. Определить: а) уравнение...

Question

Радиус-вектор частицы изменяется по закону: r= 3t2i + 4t2j + 7k. Определить: а) уравнение траектории частицы, б) скорость и ускорение частицы в момент времени t0 = 2 с, в) касательное и нормальное ускорение точки в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории R.

Answer 1

Дано:
r(t) = 3·t²·i + 4·t²·j + 7·k   

a)
Найдем уравнение траектории:
x = 3·t²   (1)
y = 4·t²   (2)
Исключим время, разделив (2) на (1)
y / x = 4·t² / 3·t²
 y / x = 4 /3
y = (4/3)·x  - уравнение траектории

б)
Скорость - первая производная от радиус-вектора:
v (t)  = 6·t·i + 8·t·j + 0·k
v (2) = 12·i + 16·j + 0·k
| v | = √ (12²+16²+0²) = √ 400 ≈ 20 м/с

Ускорение - первая производная от скорости:
a (t)  = 6·i + 8·j + 0·k       (от времени НЕ ЗАВИСИТ!)
| a | = √ (6²+8²+0²) = √100  = 10 м/с²


в) 
Касательное (тангенциальное) ускорение мы нашли
aτ= 10 м/с²
Находим
r(2) = 12·i + 16·j + 7·k   
| r | = √ (12²+16²+7²) = √449  ≈ 21 м

Нормальное ускорение:
an = V²/R = 20² / 21 ≈ 19 м/с²