Задание. Исследовать функцию на непрерывность: f(x)= x^3 + 1 / x^2 - 7x - 8

$f(x)= \frac{x^3+1}{x^2-7x-8} \\\\x^2-7x-8=0\; \; \to \; \; x_1=-1,\; \; x_2=8\; \; (teorema\; Vieta)\\\\f(x)= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-8)}= \frac{x^2-x+1}{x-8} \; \; pri\; \; x\ne -1\; ,\; x\ne 8\; .$

1) При х=-1 функция не определена.

2) Ищем односторонние пределы:

$f(-1-0)=\lim\limits_{x \to -1-0} f(x)=\lim\limits _{x\to -1-0}\frac{x^2-x+1}{x-8}=-\frac{1}{3}\\\\f(-1+0)=\lim\limits _{x\to -1+0}f(x)=\lim\limits _{x\to -1+0}\frac{x^2-x+1}{x-8}=-\frac{1}{3}\\\\f(-1-0)=f(-1+0)$

$3)\; \; f(-1)\; \; -$ не существует .

Функция при х=-1 терпит разрыв 1 рода ( устранимый ) .

Исследуем поведение функции при х=8.

1) При х=8 функция не определена .

2) Найдём односторонние пределы:

$f(8-0)=\lim\limits _{x\to 8-0} \frac{x^2-x+1}{x-8} = \frac{57}{-0}=-\infty \\\\f(8+0)=\lim \limits _{x\to 8+0} \frac{x^2-x+1}{x-8} =\frac{57}{+0}=+\infty$

При х=8 функция терпит разрыв 2 рода. Причём, при стремлении х к 8 слева функция стремится к (-∞), а при стремлении х к 8 справа функция стремится к (+∞).

Задание. Исследовать функцию ** непрерывность: f(x)= x^3 + 1 / x^2 - 7x - 8