В чемпионате по водному полу каждая команда сыграла со всеми остальными по одной игре. За...

Question

В чемпионате по водному полу каждая команда сыграла со всеми остальными по одной игре. За победу в матче присуждалось 2 очка, за ничью- 1 очко, за поражение -0 очков. Могли ли команды занявшие 1,2,3 места, набрать соответственно 7 очков, 5 очков и 3 очка, если каждая из остальных команд набрала меньше 3-х очков ? С объяснением, пожалуйста!

Answer 1

Пусть было а- команд
Тогда каждый сыграл (а-1) игру
Тогда всего игр было сыграно : а(а-1)/2
деление на два тут нужно, чтобы учесть, что если команда 1 сыграла с командой 2, то это то же самое, что и команда 2 сыграла с командой 1 (если этого не учесть, получим что две команды играли друг с другом 2 раза, что противоречит условию)
Не зависимо от результата игры, в каждой игре разыгрывается 2 балла (либо 2 - 0, либо 1-1, либо 0-2)
Таким образом за всю игр было разыграно: a(a-1)/2*2=a(a-1) балл
Это кол-во баллов равно сумме баллов всех игроков.
Баллы 3 команд мы знаем точно: 7, 5, 3
Баллы остальных команд мы не знает, поэтому обозначим сумму оставшихся команд через "z"
Тогда: 7+5+3+z = a(a-1)=a^2-a
Не трудно догадаться, что оставшихся команд с неизвестными баллами было : (a-3) команды (т.к. у 3 команд баллы известны)
При этом известно, что каждая из этих команд набрала меньше 3 баллов, значит суммарно они набрали меньше 3(a-3) баллов 
тогда: z < 3(a-3)
выразим z из верхнего уравнения:
z=a^2-a-15
и z < 3(a-3)
Тогда: a^2-a-15<3a-9<br>a^2-4a -6<0<br>a^2-4a+4-10<0<br>(a-2)^2-10<0<br>(a-2-sqrt(10))(a-2+sqrt(10))<0<br>2-sqrt(10)3=a=3, отсюда получаем, что всего в игре было разыграно 6 баллов, а из условия баллов было разыграно более 15
a=4, отсюда получаем, что баллов было разыграно 12, а их было из условия более 15
a=5, отсюда получаем, что было разыграно 20 баллов, из которых 15 баллов получили 1+2+3 места, следовательно
две оставшиеся команды получили: 20-15 = 5 баллов, отсюда следует, что одна из этих 2 команд получила не менее 3 баллов, что противоречит условию
Ответ: нет не могли

Comments

Просто, я некоторого не знаю, например что такое sqrt? или ^

---

а, это квадратный корень)

---

Мы этого еще не учили.

---

а ^ -возведение в степень

---

вы не учили неравенства и квадратные уравнения?

---

Нет

---

эх, я прощу прощения, я проще решения не знаю, дал другу порешать, мб он придумает решение попроще, если нет - я бессилен

---

Спасибо!

---

потому что из получившегося неравенства получилось, что могло быть только либо 3, либо 4, либо 5 комманд, да и они не уд условиям