1
Пусть r-радиус окружности ,вписанной в ΔABM, R-радиус окружности вписанной в ΔАВС.Тогда
r=2S(ABM)/(AB+BM+AM и R=2S(ABC)/(AB+BC+AC)
Предположим,что r=1/2*R⇒R=2r
Тогда,т.к.ВМ-медиана ΔАВС,то S(ABC)=2S(ABM) (медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника) и значит
2S(ABC)/(AB+BC+AC)=4S(ABM)
Получаем ВС+АС=ВМ+АМ.
АМ=МС,АС=2МС и ВС+2МС=ВМ+МС
Следовательно ВС+МС=ВМ,но такого не может быть исходя из неравенства треугольника.
На основании этого делаем вывод,что радиус r не может быть меньше радиуса R в два раза.
2
Обозначим р(АВМ) и р(СВМ)-полупериметры треугольников АВМ и СВМ.
Тогда МР=р(АВМ)-АВ и МР=(17+МВ+АМ)/2 -17=8,5+(МВ+АМ)/2-17=
=(МВ+МС)/2-8,5
И МК=р(СВМ)-ВС=(7+МВ+МС)/2-7=3,5+(МВ+МС)/2-7=(МВ+МС)/2-3,5
Отсюда РК=МК-МР=(МВ+МС)/2-3,5-(МВ+МС)/2+8,5=5
Ответ РК=5