В треугольнике АВС сторона АВ=2, ВС=3, СА=4. Окружность проходит через вершины А и С,...

Question 1

В треугольнике АВС сторона АВ=2, ВС=3, СА=4. Окружность проходит через вершины А и С, середину стороны АВ и пересекает сторону ВС. Найдите радиус этой окружности. Помогите пожалуйста решить эту задачу. Заранее спасибо!

Question 2

1). Пусть М - точка пересечения AB и окружности, AM = MB = 2:1 = 1.
2). Найдем косинус угла А по по теореме косинусов для треугольника ABC

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2*AB*AC*cos \angle A$

$9=4+16-2*2*4*cos \angle A$

$cos \angle A = \frac{11}{16}$

3). $sin \angle A = \sqrt{1- (\frac{11}{16})^{2}}= \sqrt{\frac{16^{2}-11^{2}}{16^{2}}}=$

$= \sqrt{\frac{5*27}{16^{2}}}= \frac{3}{16} \sqrt{15}$

4). Найдем CM из треугольника CAM по теореме косинусов

$CM^{2}=AC^{2}+AM^{2}-2*AC*AM*cos \angle A$

$CM^{2}= 16+1-2*4*1* \frac{11}{16}=17- \frac{11}{2}= \frac{23}{2}$

$CM= \sqrt{\frac{23}{2}}$

5). Используя теорему синусов для треугольника CAM, выразим радиус описанной окружности

$\frac{CM}{sin \angle A}=2R$

$R = \frac{CM}{2sin \angle A}= \sqrt{\frac{23}{2}}*\frac{1*16}{2*3 \sqrt{15}}=\frac{8}{3} \sqrt{\frac{23}{30}}$

Ответ: $=\frac{8}{3} \sqrt{\frac{23}{30}}$

Question 3

можно еще так - найти площадь АВС по ф-ле Герона p = (2 + 3 + 4)/2 = 9; p-2 = 5/2; p-3 = 3/2; p-4 =1/2; (Sabc)^2 = 9*5*3*1/16; Sabc = 3√15/4; площадь вписанного тр-ка АМС равна половине: S =Sabc/2 =3√15/8; CM -медиана АВС, m^2 = (4^2 + 3^2)/2 - 2^2/4 = 23/2; и R = b*(c/2)*m/4S = 4*1*√(23/2)/(4*3√15/8) = 8/3√(23/30)

Question 4

А вообще то задача тупая. Я хотел как-то прицепиться к тому, что ВС делится на отрезки 1 и 2, считая от В, но ничего не вышло. Тут тупо надо считать.