1-ый вариант решения:
Построй треуг АВС, где АВ=ВС, АС-основание., тогда угВАС=угВСА=30, по условию, уг АВС=120град.
АЕ-бисектрисса угВАС, значит уг ВАЕ=угЕАС=15град. теперь проведем биссектриссу угла ВСА СК, тогда получился треуг ВКЕ, где ВЕ=ВК=8, т.к по условию АВС-равноб, значит угол ВКЕ=угВЕК=30град.проведем высоту ВД из вершины В на сторону АС, т.к треуг равноб, то ВД-медиана, биссектр и восота.пусть ВД пересекает КЕ в т.О, тогда треуг ВОЕ-прямоугольный, где угол ВЕО=30град, ВЕ-гипотенуза, а мы знаем, что катет лежащий против угла 30 град = половине гипотен., значит ВО=ВЕ/2=4.теперь по тереме пифагора найдем ОЕ=√(ВЕ²-ВО²), тогда КЕ=ОЕ+ОК=2*ОЕ. рассмотрим треуг АВЕ уг ВЕА=180-угАВЕ-угВАЕ=180-120-15=45, тогда угол АЕК=45-30. рассмотрим треуг АЕК, угКАЕ=угАЕК=15 град, значит он равнобедренн, тогда КЕ=АК, АВ=АК+КВ.теперь рассмотрим треуг АВД, угВАД=30град, угВДА=90, значит треуг прямоуг, а катет лежащий против угла 30 град=половине гипотен., тогда ВД=АВ/2, по теореме пифагора найдем АД=√(АВ²-ВД²) АС=АД*2 тогда S треуг АВС=ВД*АС/2
2-ой вариант решения:
угол ВАС=углу ВСА=30
угол СВА=180-2*30=60
угол ВАЕ = половине ВАС, т. е. 15
угол ВЕА= 180-ЕВА-ВАЕ=180-60-15=180-75
теорема синусов для треугольника ВАЕ
ВЕ/sin(15)=АВ/sin(180-75) => АВ=ВЕsin(180-75)/sin(15)
теорема синусов для треугольника АВС
АВ/sin(30)=АС/sin(60) => АС=АВsin(60)/sin(30)
S=АВsin(30)АС/2=(ВЕsin(180-75)/sin(15))^2 *(sin(60)/sin(30)) *(1/2)=[32sqrt(3)]*(sin^2(75)/sin^2(15))=[32sqrt(3)]*(1-2sin^2(75)-1)/(1-2sin^2(15)-1))=[32sqrt(3)]*(cos(150)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sin(90-150)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sin(-60)-1)/(cos(30)-1))=[32sqrt(3)]*(sqrt(3)/2+1)/(1-sqrt(3)/2))=[32sqrt(3)]*(sqrt(3)+2)/(2-sqrt(3)))
3-ий вариант решения:
Пусть АВ =ВС =а и АС =b, тогда СЕ = а-8
1) по теореме синусов
а/ sin30 = b/ sin 120 откуда
b = а sin 120/ sin30 = а√3
2) по теореме о биссектрисе угла составляем пропорцию
а/b = 8/ (а-8) или а/ а√3 = 8/ (а-8)
из полученной пропорции находим, что а = 8 ( 1+√3)
3) S(ABC) = 0,5 a² sin120 = 0,5*64( 1+√3)² ( √3/2) = 16√3( 1+√3)² = 32√3( 2+√3)
Ответ S(ABC) =16√3( 1+√3)² = 32√3( 2+√3)