Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы противоположных сторон равны. Эти суммы составляют половину периметра, т.е. 4√3. А противоположные стороны равны, значит они будут по 2√3. Значит имеем ромб.
Диаметр окружности равен высоте ромба. Проведем ее из тупого угла, получим прямоугольный треугольник с углом в 30°. Высота равна половине его гипотенузы, 2√3 / 2 = √3 - это диаметр, а радиус в 2 раза меньше, √3/2.