Найти сумму значений (или значение, если оно единственно), при которых треугольник с...

Question

Найти сумму значений (или значение, если оно единственно), при которых треугольник с вершинами А(-1;2), В(-2;3) и С(х;-2) является равнобедренным.

Answer 1

У равнобедренного треугольника две равные стороны, значит возможны три случая: АВ=ВС, АВ=АС и АС=ВС.
1) АВ=ВС:
Вектор АВ=(-2+1; 3-2)=(-1; 1);
Вектор ВС=(х+2; -2-3)=(х+2; -5);
Находим длины данных векторов:
|AB|=√((-1)²+1²)=√(1+1)=√2;
|BC|=√((x+2)²+(-5)²)=√((x+2)²+25).
|AB|=|BC|:
(x+2)²+25=2;
(x+2)²=-23;
∅
2) АВ=АС:
Вектор АВ=(-2+1; 3-2)=(-1; 1);
Вектор AС=(х+1; -2-2)=(х+1; -4);
Находим длины данных векторов:
|AB|=√((-1)²+1²)=√(1+1)=√2;
|AC|=√((x+1)²+(-4)²)=√((x+1)²+16).
|AB|=|AC|:
(x+1)²+16=2;
(x+2)²=-14;
∅
3) АС=ВС:
Вектор AС=(х+1; -2-2)=(х+1; -4);
Вектор ВС=(х+2; -2-3)=(х+2; -5);
Находим длины данных векторов:
|AC|=√((x+1)²+(-4)²)=√((x+1)²+16);
|BC|=√((x+2)²+(-5)²)=√((x+2)²+25).
|AC|=|BC|:
(x+1)²+16=(x+2)²+25;
x²+2x+17=x²+4x+29;
-2x=12;
x=-6.
Таким образом, значение х=-6 - единственное.