Докажите что для любих положительных числ a,b,c,dнеравенство правилно!

Question

Докажите что для любих положительных числ a,b,c,dнеравенство правилно!

---

Answer 1

Тут нужно знать всего лишь одно неравенство n+m≥2√mn, где n≥0, m≥0
Доказательство: n-2√mn+m=(√n-√m)², очевидно ≥0.
Теперь применим это неравенство.
ab+cd≥2√abcd
ad+bc≥2√abcd
Так как неравенства одного знака и обе части каждого из них положительны по условию, мы можем их перемножить:
(ab+cd)(ad+bc)≥2√abcd*2√abcd=4abcd
Точно также получаем, что (a+c)(b+d)≥4√abcd. Теперь разделим эти неравенства друг на друга.
(ab+cd)(ad+bc)/(a+c)(b+d)≥4abcd/4√abcd=√abcd
Что и требовалось доказать.

Comments

К сожалению неравенства одного знака нельзя делить друг на друга. Нужно как то выкручиваться .Если не верите можите сами загуглить. Например 5>3 ,7>2 5/7>3/2 это явно не верно.

---

В том то вся и соль

---

Да, это я чушь написал. Короче левую часть основного неравенства можно преобразовать как 1/(1/(ad+bc)+1/(ab+cd)). Последовательно применяя неравенство о среднем геом и среднем арифм, получаем что ad+bc>=2√abcd, 1/(ad+bc)<=1/(2√abcd), точно также 1/(ab+cd)<=1/(2√abcd) и 1/(ad+bc)+1/(ab+cd)<=1/√abcd, тогда 1/(1/(ad+bc)+1/(ab+cd))>=√abcd что и требовалось. Скорее всего можно проще, но я уже сплю.

---

Вот это уже хорошая идея. Так и надо