Обозначим корень шестой степени через t.
0\to \sqrt[3]{x+1}=t^2\\2t^2-t-6=0\\D=1+8\cdot 6=49, \sqrtD=7\\t_1=\frac{1-7}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}<0\\t_2=2>0\\\sqrt[6]{x+1}=2\\x+1=2^6\\x+1=64\\x=63" alt="\sqrt[6]{x+1}=t >0\to \sqrt[3]{x+1}=t^2\\2t^2-t-6=0\\D=1+8\cdot 6=49, \sqrtD=7\\t_1=\frac{1-7}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}<0\\t_2=2>0\\\sqrt[6]{x+1}=2\\x+1=2^6\\x+1=64\\x=63" align="absmiddle" class="latex-formula">
При решении примера чли, что корни чётных степеней могут быть только положительными, отрицательное значение не подходит.