При яких значеннях а рівняння має 1) один корінь; 2) два корені.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Напомню,что sinx изменяется от -1 до 1

$sinx=t, \ \ -1 \leq t \leq 1 \\ \\ t^2-(a+ \frac{1}{2})t+ \frac{a}{2}=0$

по теореме Виета:
$\left \{ {{t_1+t_2=a+ \frac{1}{2} } \atop {t_1*t_2= \frac{a}{2} }} \right.$

значит:
$t_1=a\\ t_2= \frac{1}{2}$
(или найти корни можно через дискриминант)

обратная замена:
$1) \ sinx=a$

$2) \ sinx= \frac{1}{2} \\ x= \frac{ \pi }{6}+2 \pi n, n \in Z \\ \\ x= \frac{ 5\pi }{6}+2 \pi n, n \in Z \\ \\$

Корень 5π/6 входит в данный промежуток:
$[ \frac{ \pi }{2} ; \frac{ 5\pi }{4} ]$

Поэтому исходное уравнение уже имеет один корень на этом промежутке

по условию
$\frac{ \pi }{2} \leq x \leq \frac{5 \pi }{4}$

Значит:
$sin \frac{ \pi }{2} \geq sin x \geq sin\frac{5 \pi }{4} \\ \\ - \frac{ \sqrt{2} }{2} \leq sinx \leq 1$

1) чтобы уравнение имело один корень ( в нашем случае один корень есть всегда - это 5π/6) , нужно чтобы первое уравнение не имело корней или имело такие же корни, что и второе или имело корни не входящие в данный промежуток.

sinx=a

$a \in (-\infty;- \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \ U \ (1; + \infty) \ U \ \{ \frac{1}{2}\}$

2) в остальных случаях уравнение имеет два корня, то есть при
$a \in [- \frac{ \sqrt{2} }{2}; \frac{1}{2}) \ U \ ( \frac{1}{2};1]$

$OTBET: \ 1)\ a \in (-\infty;- \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \ U \ (1; + \infty) \ U \ \{ \frac{1}{2}\} \\ \\2)\ a \in [- \frac{ \sqrt{2} }{2}; \frac{1}{2}) \ U \ ( \frac{1}{2};1]$

Alexandr130398_zn (25.8k баллов) 09 Май, 18