Написать уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Из уравнения прямой легко заключить что ее направляющий вектор

$\vec{a} = \{-2,-1,1\}$

Кроме того, эта прямая проходит через точку

$P = (-1, -4, 1)$

что тоже видно из уравнения. Теперь подумаем, чтобы найти уравнение плоскости, нужно как минимум найти вектор нормали к ней. Этот вектор будет перпендикулярен вектору PM и направляющему вектору прямой. Кроме этого, по условию плоскость не проходит через начало координат, а значит ее уравнение можно привести к виду

$(\vec{r}\cdot\vec{n})=1$

В совокупности с условиями перпендикулярности имеем (подставим в равенство выше вектор точки M)

$\displaystyle \left\{ \begin{aligned} &-2n_x+n_y-n_z = 1\\ &n_x-5n_y+2n_z = 0\\ &2n_x+n_y-n_z = 0 \end{aligned} \right.\\\\ \Delta = \left|\begin{array}{ccc}-2&1&-1\\1&-5&2\\2&1&-1\end{array}\right| = -12\\\\ n_x = \left|\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&-5&2\\0&1&-1\end{array}\right|/\Delta_x = -3/12\\ n_y = \left|\begin{array}{ccc}-2&1&-1\\1&0&2\\2&0&-1\end{array}\right|/\Delta_x = -5/12\\ n_z = \left|\begin{array}{ccc}-2&1&1\\1&-5&0\\2&1&0\end{array}\right|/\Delta_x = -11/12\\\\$

$(\vec{r}\cdot\vec{n}) = 1\\ 3x+5y+11z = -12$

kir3740_zn (57.6k баллов) 09 Май, 18