1. Самое простое и актуальное для любой части речи (не только для наречия) правило: «не» пишется слитно со словом, которое без «не» не употребляется. Например: неизбежно, нелепо, недоумевающе, непременно (в русском языке не существует слов «избежно», «лепо, «доумевающе», «пременно»).
Я непременно дождусь тебя после уроков.
Мальчик недоумевающе посмотрел на отца.
2. Если наречие с «не» можно заменить синонимичным словом без «не» - мы также должны написать исходное слово слитно. Например: нетрудно (=легко, значит, пишем слитно), небыстро (= медленно, значит, пишем слитно).
Мне нетрудно будет помочь тебе с математикой.
Анна Павловна шла небыстро, иногда даже останавливалась.
3. «Не» пишется слитно с отрицательными наречиями: незачем, некуда, неоткуда, нечем и др.
Вам незачем было беспокоиться, со мной все хорошо.
Извините, но мне нечем заплатить вам.