Исследовать функцию: y=(((x^2)-1)/(x+2) Найти критические точки первого и второго рода ...

Question

Исследовать функцию: y=(((x^2)-1)/(x+2)
Найти критические точки первого и второго рода
Нанести их на числовую ось, разбив её на части, расставив порядке возрастания.
Определить знаки первой производной на каждой части оси, и знаки второй производной.
По знаку первой производной определить характер монотонности.
По изм. знакам 1-й производной определить точки экстремума и сами экстремумы, точки пережила.
По знаку второй- определить характер выпуклости.

Answer 1

Y=(x²-1)/(x+2)
D(y)∈(-∞;-2) U (-2;∞)
y(-x)=(x²-1)/(-x+2) ни четная,ни нечетная
Точки пересечения с осями ((1;0);(-1;0);(0;-1/2)
y`=(2x(x+2)-1(x²-1))/(x+2)²=(2x²+4x-x²+1)/(x+2)²=(x²+4x+1)/(x+2)²=0
x²+4x+1=0
D=16-4=12
x1=(-4-2√3)/2=-2-√3 U x2=-2+√3
             +                                  _                    +
--------------------------(-2-√3)--------------(-2+√3)-------------------
возр                       max      убыв        min      возр
ymax=-(6+4√3)/√3
ymin=(6-4√3)/√3
y``=((2x+4)(x+2)²-2(x+2)(x²+4x+1))/(x+2)^4=
=(2x+4)(x²+4x+4-x²-4x-1)/(x+2)^4=(2x+4)*3/(x+2)^4=6/(x+2)³=0
x=-2 точка мнимая,значит точек перегиба нет
                     -                        +
----------------------(-2)------------------------
выпукла вверх          вогнута вниз