Интеграл методом подстановки

Подстановка
$t=x^3$

Значит $\sqrt[3]{t}=x$ . Вычислим $dx=d\sqrt[3]{t}=dt^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}t^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}$
Преобразуем исходный интеграл
$\int x^2e^{-x^3}\,dx=\int(\sqrt[3]{t})^2e^{-t}*\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}\,dt=$

$=\frac{1}{3}\int t^{\frac{2}{3}}e^{-t}t^{-\frac{2}{3}}\,dt=$

$=\frac{1}{3}\int t^{\frac{2}{3}}t^{-\frac{2}{3}}e^{-t}\,dt=$

Теперь можно сократить подынтегральное выражение. Ведь множители с t сокращают друг друга.

$=\frac{1}{3}\int e^{-t}\,dt=$

Теперь заменим t на (-z).

$t=-z$

$z=-t$

$dz=-dt$

далее решаем

$=\frac{1}{3}\int e^{z}\,(-dz)=-\frac{1}{3}\int e^{z}\,dz=-\frac{1}{3}e^{z}+C.$

Где С=const.
Теперь снова вернемся к переменной t. Так как t=-z, то интеграл принимает вид

$-\frac{1}{3}e^{-t}+C$

Вернемся к переменной $x^3.$

Получается, что
$-\frac{1}{3}e^{-t}+C=-\frac{1}{3}e^{-x^3}+C$

Ответ: $-\frac{1}{3}e^{-x^3}+C,$ С=сonst.