Пусть для любых значений аргумента, отличных от нуля, функция y = f(x) удовлетворяет...

Это задача легко сводится к решению системы линейных уравнений.
Для начала замена:
$f(x)=A \\ f( \frac{4}{x} )=B$
Тогда $A+2B=x- \frac{5}{x}$ . Это будет первым уравнением системы. Неизвестные тут А и В, а х играет роль параметра.
Теперь вспомним, что равенство по условию выполняется для любого аргумента и заменим в этом равенстве x на $\frac{4}{x}$ .
$f( \frac{4}{x} )+2f(x)=\frac{4}{x}- \frac{5x}{4}$
Вот и всплыло второе уравнение. Итак, имеем систему:
$\left \{ {{A+2B=x- \frac{5}{x} } \atop {B+2A= \frac{4}{x} - \frac{5x}{4} }} \right.$
Эта система без проблем решается способом сложения.
Получаем $A=f(x)= \frac{13}{3x} - \frac{7x}{6}$ , ну а B нам и не нужно.
Проверка для самоконтроля:
$\frac{13}{3x} - \frac{7x}{6}+2(\frac{13}{\frac{3*4}{x} } - \frac{7* \frac{4}{x} }{6})=\frac{13}{3x} - \frac{7x}{6}+ \frac{13x}{6} - \frac{28}{3x} =x- \frac{5}{x}$
Все верно, мы получили то что в условии.
Значит $f(x)= \frac{13}{3x} - \frac{7x}{6}$ , ну а $f(1)= \frac{19}{6}$