Сейчас тоже самое проходим
Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.
Вы уже познакомились со множеством тождеств, например, формулы сокращенного умножения:
a 2−b 2 = (a−b)(a+b) ;
a 2−2ab+b 2 = (a−b) 2 ;
a 2+2ab+b 2 = (a+b) 2 и др.
Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
Для тождественных преобразований можно использовать формулы
сокращенного умножения, законы арифметики и др. тождества. Например,
вынесение общего множителя за скобку и формулу разность квадратов, как в примере ниже:
x 3−xy 2 = x(x 2−y 2) = x(x−y)(x+y) .
Приведенные выше алгебраические выражения тождественно равны
друг другу и обращаются в верное числовое равенство при любых
значениях переменных x и y .
Выполним тождественные преобразования и сократим
алгебраическую дробь x 3−xx 2−x .
x 3−xx 2−x = x(x 2−1)x(x−1) = x(x−1)(x+1)x(x−1) = (x+1) ;
x 3−xx 2−x = (x+1) .
Мы получили тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения) ,
так как знаменатель левой части не должен быть равен нулю.
x 2−x≠0 ; x(x−1)≠0 ; х≠0 и х≠1 .
Чтобы доказать тождество надо выполнить тождественные
преобразования одной или обеих частей равенства, и получить слева
и справа одинаковые записи алгебраических выражений.
Например, докажем тождество:
x 3−xx 2−x = x 2+xx
x(x 2−1)x(x−1) = x(x+1)x — вынесли х за скобки ;
x 2−1 2x−1 = x+1 — сократили на х ;
(x−1)(x+1)x−1 = x+1 — разность квадратов ;
x+1 = x+1 — сократили на x−1 .
Данное равенство является тождеством, при х≠0 и х≠1.
Чтобы доказать, что равенство не является тождеством,
достаточно найти одно допустимое значение переменной, при которой
получившиеся числовые выражения будут не равны друг другу.
Например:
x 2−xx = x 2+xx — х≠0 ;
x−1 = x+1 — сократим на х для удобства ;
5−1 ≠ 5+1 — подставим, например 5 .
Данное равенство не является тождеством.