Определить действующее значение тока

Question

Дан 1 ответ

PhysM_zn · Answer 1 · 2018-03-12T20:09:29+0000

Действующее значение синусоидального тока, определяется как средне квадратичное за период:
$I=\cfrac{1}{T}\int\limits_o^Ti^2dt\\i=6\sqrt{2}\sin\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)+8\sqrt{2}\sin\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)\\i^2=72\sin^2\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)+128\sin^2\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)+\\+192\sin\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)\\\int i^2dt=72\int \sin^2\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)dt+128\int\sin^2\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)dt+\\+192\int\sin\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)dt$
Находим значения интегралов:
Первая часть:
$72\int \sin^2\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)dt=72\int\cfrac{1-\cos2\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)}{2}dt=\\=36\int dt-36\int \cos\left(2wt+\cfrac{\pi}{3}\right)dt=36t-\cfrac{36}{2w}\sin\left(2wt+\cfrac{\pi}{3}\right)$
Вторая часть:
$128\int\sin^2\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)dt=128\int\cfrac{1-\cos2\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)}{2}dt=\\=64\int dt-64\int\cos\left(6wt+\cfrac{2\pi}{3}\right)dt=64t-\cfrac{64}{6w}\sin\left(6wt+\cfrac{2\pi}{3}\right)$
Третья часть:
$192\int\sin\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(wt+\cfrac{\pi}{6}\right)dt=\\=192\int\cfrac{\cos\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}-wt-\cfrac{\pi}{6}\right)-\cos\left(3wt+\cfrac{\pi}{3}+wt+\cfrac{\pi}{6}\right)}{2}dt=\\=96\int\cos\left(2wt+\cfrac{\pi}{6}\right)dt-96\int\cos\left(4wt+\cfrac{\pi}{2}\right)dt=\\=\cfrac{96}{2w}\sin\left(2wt+\cfrac{\pi}{6}\right)-\cfrac{96}{4w}\sin\left(4wt+\cfrac{\pi}{2}\right)$
Получаем:
$IT=64t-\cfrac{64}{6w}\sin\left(6wt+\cfrac{2\pi}{3}\right)+36t-\cfrac{36}{2w}\sin\left(2wt+\cfrac{\pi}{3}\right)+\\+\cfrac{96}{2w}\sin\left(2wt+\cfrac{\pi}{6}\right)-\cfrac{96}{4w}\sin\left(4wt+\cfrac{\pi}{2}\right)\left|\limits_o^T$
Так как синус, в подстановках одного периода $[0;\pi]$ принимает нулевые значения, получаем:
$I=\cfrac{1}{T}(64T+36T)=100A$
Ответ: действующее значение силы тока равно 100А