Решите систему уравнений

Методом подстановки можно...
Чтобы в первом уравнении получилась единица, необходимо вместо x подставить 1, а вместо y - 0. Дабы убедиться в ответе, можно данные числа подставить и во второе уравнение системы.
Ответ: (1;0)
Если сделать замену: $2^{x} =t$ и $2^{y} = k$ , k>0 и t>0,то получим: $\left \{ {{t-k=1} \atop { t^{3}- k^{3} =7}} \right. \left \{ {{t=1+k} \atop { (1+k)^{3}-k^{3} =7}} \right. \left \{ {t=1+k} \atop {k^{2}+k-2 =0}} \right. \left \{ {{t=1+k} \atop {(k-1)(k+2)=0}} \right. \left \{ {{t=2} \atop {k=1}} \right. \left \{ {{ 2^{x} =2} \atop { 2^{y} =1}} \right.$ $\left \{ {{x=1} \atop {y=0}} \right.$
Ответ: (1;0)