Две трубы, работая вместе, подают в бак 100 л жидкости в минуту. Имеются два раствора...

Question

Две трубы, работая вместе, подают в бак 100 л жидкости в минуту. Имеются два раствора кислоты - сильный и слабый. Если смешать по 10 л каждого раствора и 20 л воды, то получится 40 л 20 %-го раствора. Известно также, что если в течение часа подавать в первоначально пустой бак по первой трубе слабый раствор, а по второй – сильный раствор, то получится 30 %-й раствор кислоты. Какой концентрации получится кислота, если подавать в первоначально пустой бак по первой трубе сильный раствор, а по второй - слабый?

Answer 1

Вообще задача кажется сложной, но всё не так страшно.
Обозначим пропускную способность труб как a и b, тогда верно a+b=100.
Обозначим концентрации растворов как x и y. Для приведённой смеси получим: 40 л 20% раствора, если вычесть воду - это 20л 40% раствора. Раз в нём оба начальных в равных дозах, верно равенство: (х+у)/2=0,4; х+у=0,8.
Теперь рассмотрим описываемые ситуации с наполнением бассейна. Для первой: ах+by=0,3(a+b). Для второй: ay+bx=Z(a+b), где Z - Это искомая концентрация.
Распишем систему уравнений для первого случая:
ах+by=0,3(a+b)
a+b=100
х+у=0,8
Выразим отсюда: a=100-b; x=0,8-y, подставим в первое уравнение:
(100-b)(0,8-y)+by=0,3(100-b+b)
80-100y-0,8b+by+by=30
50=100y+0,8b-2by
Казалось бы, это ничего нам не даст. Но теперь распишем также вторую ситуацию:
ay+bx=Z(a+b)
(100-b)y+b(0,8-y)=Z(100-b+b)
100y-by+0,8b-by=100Z
Увидим, что часть с b и y идентична предыдущей системе уравнений. Тогда верно равенство:
50=100Z
Z=0,5