Решите дифференциальное уравнение и найдите частные решения, удовлетворяющие данным...

$( \sqrt{xy} + \sqrt{x} )y'-y=0, \sqrt{x} ( \sqrt{y}+1)y'=y, \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}y'= \frac{1}{ \sqrt{x} }$
$\frac{ \sqrt{y}+1 }{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{x} }, \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}dy=\frac{1}{ \sqrt{x} }dx,$
$\int\limits^{}_{} \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}\, dy =\int\limits^{}_{} \frac{1}{ \sqrt{x} }dx,$
1) $\int\limits^{}_{} \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}\, dy= \int\limits^{}_{} \frac{ \sqrt{y} }{y} dy+\int\limits^{}_{} \frac{1}{y} dy=\int\limits^{}_{} \frac{1}{ \sqrt{y} } dy+\int\limits^{}_{} \frac{1}{y} dy=2 \sqrt{y}+ln(y) +C_{1}$
2) $\int\limits^{}_{} \frac{1}{ \sqrt{x} }dx=2 \sqrt{x} +C_{2}$
Получаем
$2 \sqrt{y}+ln(y) +C_{1}=2 \sqrt{x} +C_{2},2 \sqrt{y}+ln(y)=2 \sqrt{x} +C,$
x=1, y=1 $2 \sqrt{1}+ln(1)=2 \sqrt{1} +C, C=2+0-2, C=0$
Ответ: $2 \sqrt{y}+ln(y)=2 \sqrt{x} +C$