1.
Log_0,3 x ≤ 2⇔ Log_0,3 x ≤ Log_0,3 (0,3 )² . || т.к. основание логарифма 0 < 0,3 < 1 || ⇔ x ≥( 0,3)²<span>
ответ : x ∈ [ 0,09 ; ∞) .
----------------------
2.
Log_3 (2x+1) < 3 ⇔Log_3 (2x+1) < Log_3³ ⇔ 0 < 2x+1 <27 ⇔ -1<2x <27 -1 <span>⇔ -1/2 < x < 13.<br>
ответ : x ∈ ( -1/2 ; 13) .
----------------------
3.
Lg²x -2Lgx -3 < 0 ⇔ ( Lqx +1)(Lqx -2) < 0 ⇔ -1 < Lqx <2 ⇔ 10⁻¹ < x < 10² .<br>
ответ : x ∈ ( 1/10 ; 100) .
----------------------
4.
( Log_0,5 x)² + Log_0,5 x -2 > 0 ⇔ (Log_2 x )² - Log_2 x - 2 >0
т.к . Log_0,5 x = Log_2 x / Log_2 0,5 = Log_2 x / (-1) = - Log_2 x
(Log_2 x )² - Log_2 x - 2 >0 ⇔ ( (Log_2 x + 1) (Log_2 x - 2) > 0 ⇔
(совокупности 2 -х неравенств ) [ Log_2 x + 1 < 0 ; Log_2 x - 2 >0 .⇔
[ Log_2 x < -1 ; Log_2 x > 2 . ⇔0 < x < 2⁻¹ ; x > 2 ².
ответ : x ∈ (0 ; 1/2) ∪ (4 ; ∞) .
----------------------
5.
Loq_4 2,5 / (Log_4 x - 1) ≥ 1 ⇔ 1 - Loq_4 2,5 / (Log_4 x - 1) ≤ 0 ⇔
( Log_4 x - 1 - Loq_4 2,5) / (Log_4 x - 1) ≤ 0 ⇔
( Log_4 x - (Loq_4 + Loq_4 2,5) ) / (Log_4 x - 1) ≤ 0 ⇔
(Log_4 x - Loq_4 10 ) / (Log_4 x - 1) ≤ 0 ⇔ 1 < Log_4 x ≤ Loq_4 10 ⇔ 4 < x ≤ 10 . <br>
ответ : x ∈ (4 ; 10 ]. .
* * * * * * * * *
P.S. пример 4.чуть подробно : (Log_2 x )² - Log_2 x - 2 >0
замена : Log_2 x = t
t² -t -2 >0 ;
t² - t -2 =0 ; D = 1² - 4*1*(-2) =9 =3²
t₁ = (1 -3) /2 = -1 ;
t₂ = (1 +3) /2 =2 . * * * t² -t -2 = (t +1)(t -2) * * *
(t +1)(t -2) > 0
решаем по методу интервалов :
+ - +
///////////////// (-1) --------------- (2) //////////////////
t < -1 или t > 2 (иначе [ t < -1 ; t > 2. )
⇔ Loq_2 x < 1 или Loq_2 x > 2
[ Loq_2 x < 1 ; Loq_2 x > 2 ⇔ [ 0 < x < 2 ; x > 4 .
a) Loq_2 x < 1 ⇒ 0 < x < 2 ;
b) Loq_2 x > 2 ⇔ Loq_2 x > Loq_2 2² ⇒x > 4 .