В равнобедренном треугоьнике боковая сторона относится к основанию как 5:3. В каком...

Пусть k - коэффициент пропорциональности, тогда AB = BC = 5k, AC = 3k.
Опустим высоту BH. $BH = \sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}-(\frac{3k}{2})^{2}}=\frac{k\sqrt{91}}{2}$ .

BH - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, значит, является и биссектрисой. AP - биссектриса (по условию). O - точка пересечения биссектрис BH и AP, значит, OH ( $OH \perp AC$ ) и OT ( $OT \perp AB$ ) - радиусы вписанной в треугольник окружности. Найдем радиус $r= \frac{2S}{a+b+c}$ .

$p= \frac{5k+5k+3k}{2}=\frac{13k}{2}$
$S_{ABC}= \sqrt{\frac{13k}{2}*(\frac{13k}{2}-5k)^{2}*(\frac{13k}{2}-3k)}=\frac{3k^{2}\sqrt{91}}{4}$
$r=OH=OT=\frac{2*3k^{2}\sqrt{91}}{4*(5k+5k+35)}=\frac{3k\sqrt{91}}{26}$

$BO = BH - OH = \frac{k\sqrt{91}}{2}-\frac{3k\sqrt{91}}{26}=\frac{5k\sqrt{91}}{13}$

$\frac{BO}{OH}= \frac{5k\sqrt{91}*26}{13*3k\sqrt{91}}=\frac{10}{3}$

Ответ: $\frac{10}{3}$ .