4) Складываем.
sinx·siny+cosx·cosy=0
cos(x-y)=0
x-y=(π/2)+πk, k∈Z ⇒ x=y+(π/2)+πk, k∈Z. и подставляем во второе
sin(y+(π/2)+πk)·siny=-1/2
По формулам приведения
sin(y+(π/2)+πk)=cos(y+πk)
а
cos(y+πk)=-cosy при нечетных k
и
cos(y+πk)=cosy при четных k
Поэтому
при k=2m+1, m∈Z.
-cosy·siny=-1/2 ⇒ sin2y=1 ⇒ 2y=(π/2)+2πn, n∈Z ⇒ y=(π/4)+πn, n∈Z.
x=y+(π/2)+πk=(π/4)+πn+(π/2)+π·(2m+1)=(3π/4)+π(n+1)+2πm, m, n∈Z.
при k=2m, m∈Z
cosy·siny=-1/2 ⇒ sin2y=-1 ⇒ 2y=(-π/2)+2πn, n∈Z ⇒ y=(-π/4)+πn, n∈Z.
x=y+(π/2)+πk=(-π/4)+πn+(π/2)+π·2m=(π/4)+πn+2πm, n, m∈Z.
О т в е т. ((3π/4)+π(n+1)+2πm;(π/4)+πn); ((π/4)+πn+2πm, (-π/4)+πn), n,m∈Z.
5) sinx-cosx=√2(cosπ/4·sinx-sinπ/4·cosx)=√2sin(x-(π/4))
-1≤sin(x-(π/4))≤
-√2≤√2sin(x-(π/4))≤√2
2√2≤3√2+√2sin(x-(π/4))≤4√2
2√2/4√2 ≤ (3√2+√2sin(x-(π/4))) /4√2 ≤ 4√2/4√2
(1/2) ≤ (3√2+√2sin(x-(π/4))) /4√2 ≤1
arccos(1/2) ≥arccos(3√2+√2sin(x-(π/4))) /4√2 ≥ arccos 1
π/3 ≥arccos(3√2+√2sin(x-(π/4))) /4√2 ≥ 0
(9/π)·(π/3)≥(9/π)·≥arccos(3√2+√2sin(x-(π/4))) /4√2≥0
О т в е т. [0;3]
6) ОДЗ:-sin²x-3-3√3sinx ≥0
Возводим в квадрат при условии √3cos≥0
-sin²x-3-3√3sinx=3cos²x;
2sin²x-3√3sinx-6=0
D=27+4·2·(-6)=75
sinx=2√3 - уравнение не имеет корней, так как |sinx|≤1
или
sinx=-√3/2 ⇒ x₁=-(π/3)+2πk, k∈Z или x₂=(-2π/3)+2πk, k∈Z
x₂ не являются корнями уравнения, так как не удовлетворяют условию
√3сosx≥0
x₁=-(π/3)+2πk, k∈Z удовлетворяют условию -sin²x-3-3√3sinx ≥0, так как
-3/2-3-3√3·(-√3/2)=-4,5+4,5=0≥0
О т в е т. -(π/3)+2πk, k∈Z