Грузик на рисунке нарисован маленьким, тем не менее, не нужно ошибаться в оценке. Груз справа и нижний блок слева имеют одинаковую массу. При этом груз тянет нить непосредственно, а с левого блока нить разматывается, «приспускаясь», так что натяжение нити слева точно ниже, чем справа. Таким образом, ясно, что верхний блок начнёт крутиться в сторону большего натяжения, т.е. вправо по верхней кромке, или по часовой стрелке.
Обозначим:
m – массы каждого элемента, участвующего в процессе;
P – вес груза или что то же самое – натяжение справа;
T – натяжение нити слева;
v и a – скорость и ускорение грузика;
u и u' – скорость и ускорение центра масса нижнего блока;
ω и β – угловые скорость и искомое ускорение верхнего блока;
Ω и Ω' – угловые скорость и ускорение нижнего блока;
Если грузик движется вниз со скоростью v, то и нить движется слева вверх со скоростью v, так что верхний блок крутиться со скоростью непроскальзывающей нити ω = v/R, β = a/R и a = Rβ. Если при этом нижний блок движется вниз со скоростью u, то скорость нити относительно нижнего блока равна [v+u], а из условия отсутствия проскальзывания (блок должен как бы катиться по нити) должно выполняться условие:
Ω = [v+u]/R , откуда:
Ω' = [Rβ+u']/R = β+u'/R ;
Запишем II законы Ньютона для всех элементов:
a = [mg–P]/m – для грузика;
u' = [mg–T]/m – для центра масс нижнего блока;
β = [P–T]R/J – для вращения верхнего блока, где J = mR²/2;
Ω' = TR/J – для вращения нижнего блока, где J = mR²/2;
Подставляем значения: a, Ω' и J:
Rβ = g – P/m ; [1]
u' = g – T/m ; [2]
Rβ = 2P/m – 2T/m ; [3]
Rβ + u' = 2T/m ; [4]
Складываем [3] и удвоенное [1], а затем вычитаем [2] из [4] :
3Rβ = 2g – 2T/m ; || *3
Rβ = 3T/m – g ; || *2
Складываем:
11Rβ = 4g ;
ОТВЕТ: β = [4/11] g/R .