1). После первого вычеркивания остаются числа вида 2k, где k=1,...,1008. После второго - числа вида 4k, где k=1,...,504. И т.д. - после каждого очередного шага вычеркиваются все числа, у которых индекс k - нечетный и остаются соответственно числа c четным индексом, в которых еще одну двойку можно вынести в множитель и индексы сделать подряд идущими по натуральным числам. Т.е. после третьего шага вычеркиваний останутся числа 8k, где k=1,..,252.
После 4-го вычеркивания остаются числа вида: 16k, где k=1,..,126,
после 5-го вычеркивания остаются числа вида: 32k, где k=1,..,63,
после 6-го вычеркивания остаются числа вида: 64k, где k=1,..,31,
после 7-го вычеркивания остаются числа вида: 128k, где k=1,..,15,
после 8-го вычеркивания остаются числа вида: 256k, где k=1,..,7,
после 9-го вычеркивания остаются числа вида: 512k, где k=1,..,3,
после 10-го вычеркивания остается одно число: 1024k, где k=1, т.е. число 1024.
2) x(x-y)-(x-y)=1
(x-1)(x-y)=1
При натуральных х, у это может быть только если
1) х-1=1 и тогда х=2, х-у=1, т.е. у=2-1=1 или
2) х-1=-1 и тогда х=0, что не является натуральным числом, поэтому
х=2, у=1.
3) Слагаемые во второй скобке задаются формулой ((3k-2)+(3k-1))/(3k), где k=1,...,672, что равно (6k-3)/(3k)=2-1/k, т.е. вторая скобка равна
2*672-(1/1+1/2+...+1/672), что сокращается с первой скобкой и остается ответ 2*672=1344.