Помогите сделайте замену в неопределенном интеграле. Не ясно, что взять за t и как найти...

Question

Помогите сделайте замену в неопределенном интеграле. Не ясно, что взять за t и как найти дифференциал.

---

Comments

∛Ln(3x +1) или 3√Ln(3x +1 ) ??

---

Когда Вы пишете условие от руки, надо добиваться однозначной интерпретации написанного. Впрочем, решение меняется минимальным образом, если в условии корень третьей степени, а не множитель 3. При занесении 3 под знак дифференциала нужно будет поставить перед интегралом множитель 1/3, а при интегрировании корня интегрировать не t^(1/2), а t^(1/3), соответственно получится t^(4/3)/(4/3)

Answer 1

Есть два способа вычисления этого интеграла;  первый - подведение под знак дифференциала (с последующей заменой если ответ не удается угадать), второй - замена ln(3x+1)=t.
Мне больше нравится первый способ. На первом этапе заносим 3 под знак дифференциала, после чего добавляем под знаком дифференциала единицу: 3dx=d(3x)=d(3x+1). Можно уже на этом этапе сделать "косметическую" замену 3x+1=p; получаем интеграл
∫√(ln p)dp/p; заносим 1/p под знак дифференциала (занести под знак дифференциала = проинтегрировать:
dp/p=d(ln p); замена ln p=t; 
интеграл превращается в ∫√t dt=∫t^(1/2) dt=t^(3/2)/(3/2) +C=
2/3√(ln^3(3x+1))+C