Cos^3(x)+sin^8(x)=1 решить уравнение

Question 1

Question 2

На интервале $( 0 ; \frac{ \pi }{2} ) \ :$

$0 < \cos{x} < 1 \ ;$

$0 < \cos^3{x} < \cos^2{x} \ ;$

$0 < \sin{x} < 1 \ ;$

$0 < \sin^6{x} < 1 \ ;$

$0 < \sin^8{x} < \sin^2{x} \ ;$

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ ;$

На интервале $( -\frac{ \pi }{2} ; 0 ) \ :$ всё симметрично, поскольку и $\cos^3{x}$ и $\sin^8{x}$ – чётные функции, то всё точно так же, и:

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < 1 \ ;$

На интервале $( \frac{ \pi }{2} ; \pi ) \ :$

$\cos{x} < 0 \ ;$

$\cos^3{x} < 0 \ ;$

$0 < \sin^8{x} < \sin^2{x} \ ;$

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ ;$

Аналогично и на интервале: $( -\pi ; -\frac{ \pi }{2} ) \ ;$

Для возможных корней остаются только точки: $x = \frac{ \pi n }{2} , n \in Z \ ;$

Среди них не подходят только: $x = \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

ОТВЕТ:

$x_1 = \frac{ \pi }{2} + \pi n , n \in Z \ ;$

$x_2 = 2 \pi n , n \in Z \ .$

logophobia_zn · Answer 1 · 2018-05-09T19:38:27+0000

На интервале $( 0 ; \frac{ \pi }{2} ) \ :$

$0 < \cos{x} < 1 \ ;$

$0 < \cos^3{x} < \cos^2{x} \ ;$

$0 < \sin{x} < 1 \ ;$

$0 < \sin^6{x} < 1 \ ;$

$0 < \sin^8{x} < \sin^2{x} \ ;$

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ ;$

На интервале $( -\frac{ \pi }{2} ; 0 ) \ :$ всё симметрично, поскольку и $\cos^3{x}$ и $\sin^8{x}$ – чётные функции, то всё точно так же, и:

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < 1 \ ;$

На интервале $( \frac{ \pi }{2} ; \pi ) \ :$

$\cos{x} < 0 \ ;$

$\cos^3{x} < 0 \ ;$

$0 < \sin^8{x} < \sin^2{x} \ ;$

$0 < \cos^3{x} + \sin^8{x} < \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ ;$

Аналогично и на интервале: $( -\pi ; -\frac{ \pi }{2} ) \ ;$

Для возможных корней остаются только точки: $x = \frac{ \pi n }{2} , n \in Z \ ;$

Среди них не подходят только: $x = \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

ОТВЕТ:

$x_1 = \frac{ \pi }{2} + \pi n , n \in Z \ ;$

$x_2 = 2 \pi n , n \in Z \ .$