Будем называть число счастливым, если в нём чётное число цифр, причём сумма первой...

Question

Будем называть число счастливым, если в нём чётное число цифр, причём сумма первой половины цифр равна сумме второй половине цифр.
Можно ли в записи *1**5* заменить звёздочки цифрами так, чтобы получилось шестизначное счастливое число, которое делится на 33? Ответы обоснуйте.

Прошу помощи, т.к. мозги уже совсем не варят.

Answer 1

Чтобы число делилось на 33, оно должно делиться одновременно на 3 и на 11.
Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр а-1+b-с+5-d делится на 11.

Чтобы выполнилось условие о равенстве сумм цифр левой половины и правой половины числа, в шестизначном числе
*1**5* в правой половине и левой суммы должны делиться на 3.

Запишем число как
а1bс5d

а+1+b=с+5+d по условию

Приведем подобные члены
а+b-c-d=4

Признак делимости на 11:
а-1+b-с+5-d=а+b-с-d-1+5 = 0, 11 или 22, 33 или другие кратные 11 числа.

Подставим в последнее уравнение
а+b-c-d=4

Получаем
4-1+5=4+4=8
Видно, что какими бы ни были цифры шестизначного числа, удовлетворяющего условиям задачи (*1**5*), знакочередующаяся сумма его цифр всегда будет равна 8, а это значит, что число не будет кратно 11.

Ответ: при заданных условиях получить искомое шестизначное число невозможно.

Comments

Благодарю, Вы мне очень помогли.

---

Пожалуйста!