Допустим, что оно рациональное, то есть существует рациональная дробь х/у такая, что (х/у) ^2 = 15. Будем считать дробь несократимой (если бы она была сократимой, мы могли бы сначала сократить общие множители, а потом продолжить рассуждение) . Из равенства (х/у) ^2 = 15 следует, что
х^2 = 15 * y^2. Отсюда вытекает, что х^2 делится на 15. Но тогда и х должно делиться на 15, то есть х можно записать в виде x = 15 * z, где z - целое число. Подставив это в равенство х^2 = 15 * y^2, получаем
(15 * z)^2 = 15 * y^2,
то есть 15 * z^2 = y^2. Отсюда следует, что y^2 делится на 15, а следовательно, и у делится на 15. Но ведь мы предполагали, что х/у - несократимая дробь, а получили, что и х, и у делятся на 15. Это противоречие показывает, что исходное предположение было неверным. Следовательно, не существует рациональной дроби, квадрат которой равен 15.