Найдите количество целых значений параметра a , при каждом из которых неравенство...

Question

Найдите количество целых значений параметра a , при каждом из которых неравенство x−ax−6a<0 выполняется при всех значениях x , таких, что 2⩽x⩽3 .

Answer 1

Т.к. функция f(x)=x-ax-6a монотонна (либо константа), то выполнение неравенства f(x)<0 для всех х∈[2;3] равносильно тому, что одновременно выполнены неравенства f(2)<0 и f(3)<0, т.е.,<br>2-2а-6а<0,<br>2-8a<0,<br>a>1/4
и
3-3а-6a<0,<br>3-9a<0,<br>a>1/3.
Таким образом, при а∈(1/3;+∞) исходное неравенство выполнено для всех х∈[2;3]. Интервалу (1/3;+∞) принадлежит бесконечное количество целых чисел.