Помогите пожалуйста. y"+2 y'=sin(t/2) y(0)=-2; y'(0)=4

Question 1

Помогите пожалуйста.
y"+2 y'=sin(t/2)
y(0)=-2; y'(0)=4

Question 2

$y''+2y'=\\ y''+2y'=0 \\ k^2+2k=0 \\ k(k+2)=0 \\ k_1=0,k_2=-2$
Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение однородного ДУ: $y_o=C_1+C_2e^{-2t}$ .
Запишем частное решение в общем виде:
$y_{ch}=Asin \frac{t}{2} +Bcos\frac{t}{2}$ .
Найдем производные первого и второго порядка, поставим их в первоначальное равенство и найдем коэффициенты A,B.
$y'_{ch}= \frac{A}{2} cos \frac{t}{2} - \frac{B}{2} sin\frac{t}{2} \\ y'_{ch}=- \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} \\ - \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} +2(\frac{A}{2} cos \frac{t}{2} - \frac{B}{2} sin\frac{t}{2} )=sin \frac{t}{2} \\ - \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} +A cos \frac{t}{2} - B sin\frac{t}{2} =sin \frac{t}{2} \\ \\ sin \frac{t}{2} ( -\frac{A}{4} -B)+cos\frac{t}{2}(-\frac{B}{4} +A)=sin \frac{t}{2}$
$\left \{ { -\frac{A}{4} -B=1 \\ } \atop {-\frac{B}{4} +A=0}} \right. \\ A= -\frac{4}{17} , B= -\frac{16}{17} \\ y_{ch}=-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$
Запишем решение ДУ:
$y= C_1+C_2e^{-2t}-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$
Решим задачу Коши.
$y(0)=C_1+C_2- \frac{16}{17}=-2 \\ y'=-2*C_2e^{-2t}- \frac{4}{17} cos\frac{t}{2} + \frac{16}{17} sin\frac{t}{2} \\ y'(0)=-2*C_2- \frac{4}{17} =4 \\ C_2= \frac{-72}{17} \\ C_1= \frac{54}{17} \\ y=\frac{54}{17}-\frac{72}{17}e^{-2t}-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$

Nennn_zn · Answer 1 · 2018-05-09T20:59:29+0000

$y''+2y'=\\ y''+2y'=0 \\ k^2+2k=0 \\ k(k+2)=0 \\ k_1=0,k_2=-2$
Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение однородного ДУ: $y_o=C_1+C_2e^{-2t}$ .
Запишем частное решение в общем виде:
$y_{ch}=Asin \frac{t}{2} +Bcos\frac{t}{2}$ .
Найдем производные первого и второго порядка, поставим их в первоначальное равенство и найдем коэффициенты A,B.
$y'_{ch}= \frac{A}{2} cos \frac{t}{2} - \frac{B}{2} sin\frac{t}{2} \\ y'_{ch}=- \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} \\ - \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} +2(\frac{A}{2} cos \frac{t}{2} - \frac{B}{2} sin\frac{t}{2} )=sin \frac{t}{2} \\ - \frac{A}{4} sin \frac{t}{2} - \frac{B}{4} cos\frac{t}{2} +A cos \frac{t}{2} - B sin\frac{t}{2} =sin \frac{t}{2} \\ \\ sin \frac{t}{2} ( -\frac{A}{4} -B)+cos\frac{t}{2}(-\frac{B}{4} +A)=sin \frac{t}{2}$
$\left \{ { -\frac{A}{4} -B=1 \\ } \atop {-\frac{B}{4} +A=0}} \right. \\ A= -\frac{4}{17} , B= -\frac{16}{17} \\ y_{ch}=-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$
Запишем решение ДУ:
$y= C_1+C_2e^{-2t}-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$
Решим задачу Коши.
$y(0)=C_1+C_2- \frac{16}{17}=-2 \\ y'=-2*C_2e^{-2t}- \frac{4}{17} cos\frac{t}{2} + \frac{16}{17} sin\frac{t}{2} \\ y'(0)=-2*C_2- \frac{4}{17} =4 \\ C_2= \frac{-72}{17} \\ C_1= \frac{54}{17} \\ y=\frac{54}{17}-\frac{72}{17}e^{-2t}-\frac{4}{17}sin \frac{t}{2} -\frac{16}{17} cos\frac{t}{2}$