Найти предел - ответ калькуляторы считают , почему минус не понимаю.lim...

0 голосов
48 просмотров

Найти предел - ответ калькуляторы считают , почему минус не понимаю.

lim (sin((x-4)/2)*tg(pi*x/8))^(x-3)
x->4

-4/pi

Алгебра (60.4k баллов) | 48 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ
\lim_{x \to 4} (sin \frac{x-4}{2} tg \frac{ \pi x}{8} )^{x-3} = \lim_{x \to 4} (sin \frac{x-4}{2} tg \frac{ \pi x}{8} )
= [x-4 = t] = \lim_{t \to 0} (sin \frac{t}{2} tg (\frac{ \pi t}{8} + \frac{ \pi }{2} ) )= \lim_{t \to 0} (sin \frac{t}{2} (-ctg \frac{ \pi t}{8} ) )
=[ctgx ~ \frac{1}{x} , x-\ \textgreater \ 0; sinx ~ x, x->0]
= \lim_{t \to 0} -\frac{8t}{ 2\pi t} = -\frac{4}{ \pi }
(271k баллов)
0

У вас ошибка в нижнем индексе у знака предела: предел берётся не при x->0, а при t->0.

оставил комментарий (90.0k баллов)
0

описка

оставил комментарий (271k баллов)
0 голосов

При x⇒4 показатель степени x-3⇒1, поэтому исходный предел преобразуется в  lim sin((x-4)/2)*tg(π*x/8)=lim sin((x-4)/2)/ctg(π*x/8)=0/0. Для вычисления предела применим правило Лопиталя. [sin((x-4)/2]'=1/2*cos((x-4)/2), [ctg(π*x/8)]'=-π/8*1/sin²(π*x/8). При x⇒4 1/2*cos((x-4)/2)⇒1/2, а -π/8*1/sin²(π*x/8)⇒ -π/8. Поэтому данный предел равен (1/2)/(-π/8)=-4/π.

(90.0k баллов)
Похожие задачи