Мистер Фокс записал квадратичную функцию f(x)=x2+ax+b и занялся ее исследованием. В...

Question

Мистер Фокс записал квадратичную функцию f(x)=x2+ax+b и занялся ее исследованием. В процессе исследования выяснилось, что ее график пересекает ось абсцисс в двух различных целых точках p и q. Также Фокс обнаружил, что хотя бы одно из чисел p и q, а также f(11) — простые числа. Найдите p+q.

Заранее спасибо, 20 баллов

Comments

То есть гарантируется, что f(11) - простое? Или "одно из чисел" относится и к f(11)?

---

по смыслу - да, f(11)-простое

Answer 1

Так как p и q - корни f(x), то f(x)=(x-p)(x-q).
По условию, f(11) - простое. Тогда f(11)=(11-p)(11-q)
Возможны такие ситуации:
1) 11-p=1 => p=10 - не простое. Значит, q должно быть простым.
Помимо этого, 11-q тоже должно быть простым, чтобы f(11) было простым.
Сумма двух простых чисел (11-q) и q равна 11 - нечетному числу. Значит, одно из них четное и равно 2, так как 2 - единственное четное простое число. В этом случае другое число равно 11-2=9 - не простое. Значит, такая ситуация не подходит.
2) 11-p=-1 => p=12 - не простое. Значит, выражения q-11 и q должны быть простыми.
Очевидно, что q>11, а значит, это простое число нечетно. Тогда q-11 - четное простое число, равное 2. q=11+2=13 - простое. Значит, эта ситуация подходит. Здесь p+q=12+13=25
Ситуации 3 и 4, где 11-q=1 и 11-q=-1 аналогичны ситуациям 1 и 2:
Ситуация 3 не подходит, а в ситуации 4 p=13, q=12, p+q=25.
Ответ: 25