2) x₁ = 4 ; x (n+1) =3x(n) - 2 .
-----
а) x₁ = 4 * * * 3¹ +1 * * *
x₂ = 3*x₁ -2 =3*4 -2 = 10 * * * 3² +1 * * *
x₃ = 3*x₂ -2 = 3*10 -2 = 28 * * * 3³ +1 * * *
x₄ = 3*x₃ - 2 =3*28 -2 = 82 * * * 3⁴+1 * * *
x₅ = 3*x₄ - 2=3*82 -2 =244 * * * 3⁵+1 * * *
б) x(n) =3^(n)+ 1 , при любых n ∈N .
доказательство можно проводить методом математической индукции :
a) При n = 1 равенство примет вид 4 =3¹ +1, следовательно, P(1) истинно
b) Предположим, что данное равенство справедливо, при n =k ,то есть, имеет место x(k) =3^(k) +1 ;
c) Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть x(k+1)= 3^(k+1) +1.
Действительно : x(k+1) =3*x(k) -2 но по предположению x(k) = 3^(k) +1,
получается x(k+1) =3*x(k) -2 = 3*(3^(k) +1) -2= 3^(k+1) +3 -2 = 3^(k+1) +1,
то есть, P(n + 1) - истинное утверждение .
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.