В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны √17см и 2√2 см....

Question

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны √17см и 2√2 см. Определите сумму катетов треугольника

Answer 1

Обозначим углы треугольника А, В, С, где С - прямой угол, ВЕ и АК - медианы.
Пусть катеты АС=х и ВС=у, а медианы ВЕ=м1=√17, АК=м2=2√2.
Из прямоугольного треугольника ВСЕ по теореме Пифагора:
ВЕ^2=BC^2+CE^2, m1^2=y^2+(x/2)^2.
Из прямоугольного треугольника ACK по теореме Пифагора:
AK^2=AC^2+CK^2, m2^2=x^2+(y/2)^2.
Получилась система уравнений:
m1^2=y^2+x^2/4;                (1)
m2^2=x^2+y^2/4.                (2)
Если умножить уравнение (2) на 4 и вычесть из него уравнение (1), то получим:
4*м2^2-m1^2=4x^2-x^2/4 = (15/4)*x^2.
Отсюда x^2=(4/15)*(4*м2^2-m1^2)=(4/15)(4*8-17)=4,
x=2 - катет АС.
Из уравнения (1):
y^2=m1^1-x^2/4=17-4/4=16,
у=4 - катет ВС.
Сумма катетов 2+4=6.

Comments

а откуда там взялось 15 /16

---

Вопрос справедливый. Я посчитал правильно, а в тексте допустил ошибку. Там должно быть: 4m2^2-m1^2 = 4x^2-x^2/4 = (15/4)*x^2; x^2=(4/15)*(4m2^2-m1^2) = (4/15)*(4*8-17) = 4; x=2. Далее по тексту.

---

Если мне будет предоставлена возможность, я исправлю текст решения.