Решить логарифмическое неравенство

Question 1

Решить логарифмическое неравенство $2,56^{log_{x-1}x}\ \textgreater \ (\frac{5}{8})^{log_{\frac{1}{x-1}}(6-x)}$

Question 2

$2,56= \frac{256}{100} = \frac{64}{25} = (\frac{8}{5} )^{2}$
$log_{ \frac{1}{(x-1)} } (6-x)= - log_{x-1}(6-x)$
$( \frac{8}{5} )^{2 log_{x-1} x } \ \textgreater \ ( \frac{5}{8} )^{- log_{x-1} (6-x)}, ( \frac{8}{5} )^{ log_{x-1} x^{2} } \ \textgreater \ ( \frac{8}{5} )^{log_{x-1} (6-x)}$
$log_{x-1} x^{2} \ \textgreater \ log_{x-1}(6-x)$
Область определения: x-1>0, x>1, x-1≠1, x≠2 и 6-x>0, x<6, x∈(1;2)∪(2;6)<br>
1) если основание логарифма x-1<1, т.е. x∈(1;2), тогда<br> $x^{2} \ \textless \ 6-x, x^{2} +x-6\ \textless \ 0, (x+3)(x-2)\ \textless \ 0$
рисуем интервалы -∞___+___-3___-___1___-___2____+___+∞
получаем x∈(1;2)
2) основание x-1>1, x∈(2;6), тогда
$x^{2} \ \textgreater \ 6-x, x^{2} +x-6\ \textgreater \ 0, (x+3)(x-2)\ \textgreater \ 0$
рисуем интервалы -∞__+__-3__-__2__+__+∞
получаем x∈(2;6)
Ответ: x∈(1;2)∪(2;6)

skyne8_zn · Answer 1 · 2018-05-09T22:10:19+0000

$2,56= \frac{256}{100} = \frac{64}{25} = (\frac{8}{5} )^{2}$
$log_{ \frac{1}{(x-1)} } (6-x)= - log_{x-1}(6-x)$
$( \frac{8}{5} )^{2 log_{x-1} x } \ \textgreater \ ( \frac{5}{8} )^{- log_{x-1} (6-x)}, ( \frac{8}{5} )^{ log_{x-1} x^{2} } \ \textgreater \ ( \frac{8}{5} )^{log_{x-1} (6-x)}$
$log_{x-1} x^{2} \ \textgreater \ log_{x-1}(6-x)$
Область определения: x-1>0, x>1, x-1≠1, x≠2 и 6-x>0, x<6, x∈(1;2)∪(2;6)<br>
1) если основание логарифма x-1<1, т.е. x∈(1;2), тогда<br> $x^{2} \ \textless \ 6-x, x^{2} +x-6\ \textless \ 0, (x+3)(x-2)\ \textless \ 0$
рисуем интервалы -∞___+___-3___-___1___-___2____+___+∞
получаем x∈(1;2)
2) основание x-1>1, x∈(2;6), тогда
$x^{2} \ \textgreater \ 6-x, x^{2} +x-6\ \textgreater \ 0, (x+3)(x-2)\ \textgreater \ 0$
рисуем интервалы -∞__+__-3__-__2__+__+∞
получаем x∈(2;6)
Ответ: x∈(1;2)∪(2;6)