Дополним, используя основное тригонометрическое тождество:
1 - cos²x + 15cosx + 53 = 0
-cos²x + 15cosx + 54 = 0
cos²x - 15cosx - 54 = 0
Пусть t = cosx, t€[-1; 1].
t² - 15t - 54 = 0
t1 + t2 = 15
t1•t2 = -54
t1 = -18 - не входит в промежуток
t2 = 3 - не входит в промежуток.
Ответ: нет корней.