Решить систему уравнений √(x+y)+√(2y-5x)=y √(x+y)-√(2y-5x)=x

Question

Решить систему уравнений √(x+y)+√(2y-5x)=y
√(x+y)-√(2y-5x)=x

Answer 1

ОДЗ
{x+y≥0
{2y-5x≥0
{y≥0
Прибавим уравнения
2√(х+у)=у+х
Обозначим√(x+y)=a
2a=a²
a(a-2)=0
1)a=0
x+y=0⇒x=-y
подставим в 1 уравнение
0+√(2y+5y)=y
√7y=y
возведем в квадрат
7y=y²
y(y-7)=0
y1=0⇒x1=0
y2=7⇒x2=-7
2)a=2
√(x+y)=2
x+y=4
x=4-y
подставим в 1 уравнение
√4+√(7y-20)=y
y-2=√(7y-20)
возведем в квадрат
y²-4y+4=7y-20
y²-11y+24=0
y1+y2=11 U y1*y2=24
y1=3⇒x1=4-3=1
y2=8⇒x2=4-8=-4
Ответ (0;0);(-7;7);(1;3);(-4;8)

Answer 2

Для начала заметим, что x+y≥0, 2y-5x≥0, у≥0
сложим уравнения
√(x+y)+√(2y-5x)+√(x+y)-√(2y-5x)=y+x
2√(x+y)=x+y
умножим первое уравнение на 2 и вычем из него второе, умноженное на 5 
2(√(x+y)+√(2y-5x))-5(√(x+y)-√(2y-5x))=2y-5x
7√(2y-5x)-3√(x+y)=2y-5x
получили новую систему
2√(x+y)=x+y
7√(2y-5x)-3√(x+y)=2y-5x
заменим переменные x+y=a, 2y-5x=b, a≥0, b≥0
2√a=a
7√b - 3√a=b
из первого уранения получаем a₁=0, a₂=4
1. подставляем a₁ во второе
7√b₁=b₁
b₁=0, b₂=49
1.1 x+y=0
2y-5x=0
получаем x=0 и y=0

1.2 x+y=0
2y-5x=49
y=-x
-2x-5x=49
-7x=49
x=-7, y=7
2.  подставляем a₂ во второе
7√b₂-3*√4=b₂
7√b₂-6=b₂
b₂-7√b₂+6=0
обозначим √b₂=с
с²-7с+6=0
D=7²-4*6=49-24=25
√D=5
c₁=(7-5)/2=1
c₂=(7+5)/2=6
b₃=1, b₄=36
2.1 x+y=4
2y-5x=1
y=4-x
2(4-x)-5x=1
8-7x=1
7x=7
x=1
y=3
получаем x=1 и y=3

2.2 x+y=4
2y-5x=36
y=4-x
2(4-x)-5x=36
8-7x=36
7x=-28
x=-4
y=8
получаем x=-4 и y=8
Ответ: 4 пары чисел (0;0), (7;-7), (1;3) и (-4;8)