Окружность с центром в точке О вписанная в прямоугольный треугольник АВС касается...

Так как касательные проведенные с одной точки равны
пусть она равна х тогда по теореме пифагора
$(4+x)^2+(8+x)^2=12^2\\ 16+8x+x^2+64+16x+x^2=144\\ x=2\sqrt{17}-6\\$
то есть катеты равны
$a=4+2\sqrt{17}-6=2\sqrt{17}-2\\ b=8+2\sqrt{17}-6=2\sqrt{17}+2\\ S=\frac{ab}{2}=32$