Дан треугольник abc и отрезки aa1, bb1 и cc1 - его высоты, причем aa1:bb1:cc1=2:3:4, а...

Question

Дан треугольник abc и отрезки aa1, bb1 и cc1 - его высоты, причем aa1:bb1:cc1=2:3:4, а периметр треугольника abc равен 130. найдите длину наименьшей стороны треугольника abc.

Answer 1

Из соотношения высот получаем, что сс1 - наибольшая высота.
Значит напротив нее лежит наименьшая сторона ab.
Площадь треугольника S=aa1*bc/2
=bb1*ac/2=cc1*ab/2, получаем
aa1*bc=bb1*ac=cc1*ab
(aa1/cc1)bc=ab, (2/4)bc=ab, bc=2ab
(bb1/cc1)ac=ab, (3/4)ac=ab, ac=(4/3)ab
Периметр P=ab+bc+ac=130,
ab+2ab+(4/3)ab=130, (13/3)ab=130,
ab=30