Решите уравнение х^3-19x^+78x+108=0

Методом подбора, корень $x=9$ является решением нашего уравнения. Зная корень уравнения, мы можем решить методом разложения на множители. Для этого добавим и вычтем некоторые слагаемые:
$x^3-9x^2-10x^2+90x-12x+108=0$
Выносим общий множитель:
$x^2(x-9)-10x(x-9)-12(x-9)=0\\ (x-9)(x^2-10x-12)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x-9=0\\ x_1=9$

$x^2-10x-12=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot1\cdot(-12)=148;$
$D\ \textgreater \ 0$ , значит квадратное уравнение имеет 2 корня:
$x_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{10- \sqrt{148} }{2\cdot 1} = \dfrac{10-2 \sqrt{37} }{2} =5- \sqrt{37} ;\\ \\ x_3= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{10+ \sqrt{148} }{2\cdot 1} = \dfrac{10+2 \sqrt{37} }{2} =5+ \sqrt{37} .$

Ответ: $9;\,\,\,\, 5\pm \sqrt{37} .$