Площадь треугольника АВС равна 12. Найдите площадь треугольника МРК, если известно, что...

Question 1

Площадь треугольника АВС равна 12. Найдите площадь треугольника МРК, если известно, что АМ : ВМ = ВР : СР = СК : АК = 1 : 2.

Question 2

Δ $ABC$
$M$ ∈ $AB$
$K$ ∈ $AC$
$P$ ∈ $BC$
$AM : BM = BP : CP = CK : AK = 1 : 2.$
$S_{ABC}=12$
$S_{MPK}-$ ?

$S= \frac{1}{2} *a*b*sin \alpha$
$S_{ABC}= \frac{1}{2} AB*AC*sin\ \textless \ A=\frac{1}{2} CB*AC*sin\ \textless \ C=$ $=\frac{1}{2} AB*CB*sin\ \textless \ B$ или
$x-$ коэффициент пропорциональности
$S_{ABC}=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ A=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ C=$ $=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ B$
$\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ A=12$
$x^2*sin\ \textless \ A= \frac{8}{3}$

$\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ C=12$
$x^2*sin\ \textless \ C= \frac{8}{3}$

$\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ B=12$
$x^2*sin\ \textless \ B= \frac{8}{3}$

$S_{AMK}= \frac{1}{2} AM*AK*sin\ \textless \ A= \frac{1}{2} *x*2x*sin\ \textless \ A= x^{2} *sin\ \textless \ A$
$S_{MBP}= \frac{1}{2} BM*BP*sin\ \textless \ B= \frac{1}{2} *2x*x*sin\ \textless \ B= x^{2} *sin\ \textless \ B$
$S_{KPC}= \frac{1}{2} PC*CK*sin\ \textless \ C= \frac{1}{2} *2x*x*sin\ \textless \ C= x^{2} *sin\ \textless \ C$
Заметим, что
$x^{2} *sin\ \textless \ A= \frac{8}{3}$
$x^{2} *sin\ \textless \ B= \frac{8}{3}$
$x^{2} *sin\ \textless \ C= \frac{8}{3}$
Тогда
$S_{MPK}=S_{ABC}-S_{AMK}-S_{MBP}-S_{PKC}$
$S_{MPK}=12-3* \frac{8}{3} =4$

Ответ: 4 кв. ед.