Шар радиуса R заряжен равномерно с объёмной плотностью заряда ρ. Определите модуль...

0 голосов
71 просмотров

Шар радиуса R заряжен равномерно с объёмной плотностью заряда ρ. Определите
модуль напряженности поля в произвольной точке на расстоянии r от центра шара.
Постройте график зависимости модуля напряженности электрического поля от
расстояния до центра шара.

Физика (1.7k баллов) | 71 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

ЧЕРЕЗ ТЕОРЕМУ ГАУССА:

\int_o^{S_\Sigma} { E \, dS } = \frac{ | q_\Sigma | }{ \varepsilon_o \varepsilon }
для произвольной замкнутой поверхности окружающий некторый заряд;

Ясно, что поле вокруг такого тела обладает сферической симметрией, а значит поле в любой точке сонаправлено в радиус-вектором, проведённым из центра сферы. Причём, исходя из той же сферической симметри – на равных расстояниях от сферы в любой точке поле имеет одну и ту же напряжённость.

Поэтому для точек    r \geq R    за пределами шара мы можем записать:

image = \frac{ | q_\Sigma | }{ \varepsilon_o \varepsilon } = \frac{4 \pi | \rho | R^3}{3 \varepsilon_o \varepsilon } \ ; " alt=" 4 \pi r^2 E_> = \frac{ | q_\Sigma | }{ \varepsilon_o \varepsilon } = \frac{4 \pi | \rho | R^3}{3 \varepsilon_o \varepsilon } \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

image = \frac{ | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon_o \varepsilon r^2 } = \frac{ 4 \pi k | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon r^2 } \ ; " alt=" E_> = \frac{ | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon_o \varepsilon r^2 } = \frac{ 4 \pi k | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon r^2 } \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

А для точек    r \leq R    внутри шара мы можем записать:

4 \pi r^2 E_< = \frac{ | q_r | }{ \varepsilon_o \varepsilon } = \frac{4 \pi | \rho | r^3}{3 \varepsilon_o \varepsilon } \ ;

E_< = \frac{ | \rho | }{ 3 \varepsilon_o \varepsilon } \cdot r = \frac{ 4 \pi k | \rho | }{ 3 \varepsilon } \cdot r \ ;



ЧЕРЕЗ УДЕЛЬНУЮ ФОРМУ ЗАКОНА КУЛОНА ДЛЯ ШАРА:

Для точек    r \geq R    за пределами шара мы можем записать:

image = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{ | q_\Sigma | }{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{4 \pi | \rho | R^3}{3 r^2} \ ; " alt=" E_> = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{ | q_\Sigma | }{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{4 \pi | \rho | R^3}{3 r^2} \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

image = \frac{ 4 \pi k | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon r^2 } = \frac{ | \rho | R^3 }{3 \varepsilon_o \varepsilon r^2} \ ; " alt=" E_> = \frac{ 4 \pi k | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon r^2 } = \frac{ | \rho | R^3 }{3 \varepsilon_o \varepsilon r^2} \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

А для точек    r \leq R    внутри шара мы можем записать:

E_< = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{ | q_r | }{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{4 \pi | \rho | r^3}{3 r^2} \ ;

E_< = \frac{ 4 \pi k | \rho | }{ 3 \varepsilon } \cdot r = \frac{ | \rho | }{ 3 \varepsilon_o \varepsilon } \cdot r \ ;




ЧЕРЕЗ УДЕЛЬНУЮ ФОРМУ ЗАКОНА КУЛОНА ДЛЯ СФЕРЫ:

Напряжённость равномерно заряженной сферы за её пределеами равна напряжённости точечного заряда, расположенного вместо сферы в её центре. Тогда:

Для точек    r \geq R    за пределами шара мы можем записать:

image = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{ | q_\Sigma | }{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{4 \pi | \rho | R^3}{3 r^2} \ ; " alt=" E_> = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{ | q_\Sigma | }{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{4 \pi | \rho | R^3}{3 r^2} \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

image = \frac{ 4 \pi k | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon r^2 } = \frac{ | \rho | R^3 }{3 \varepsilon_o \varepsilon r^2} \ ; " alt=" E_> = \frac{ 4 \pi k | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon r^2 } = \frac{ | \rho | R^3 }{3 \varepsilon_o \varepsilon r^2} \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

А для точек    r \leq R    внутри шара мы можем записать:

E_< = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{ | q_r | }{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \cdot \frac{4 \pi | \rho | r^3 }{ 3 r^2 } \ ;

E_< = \frac{ 4 \pi k | \rho | }{ 3 \varepsilon } \cdot r = \frac{ | \rho | }{ 3 \varepsilon_o \varepsilon } \cdot r \ ;




ОТВЕТ:

E = \{
= \frac{ 4 \pi k | \rho | }{ 3 \varepsilon } \cdot r = \frac{ | \rho | }{ 3 \varepsilon_o \varepsilon } \cdot r \ ,    при    r \leq R \ ;
= \frac{ 4 \pi k | \rho | R^3 }{ 3 \varepsilon r^2 } = \frac{ | \rho | R^3 }{3 \varepsilon_o \varepsilon r^2} \ ,    при    r \geq R \ ; \}





ГРАФИК СМОТРИТЕ В ПРИЛОЖЕННОМ ФАЙЛЕ:


image
(7.5k баллов)
Похожие задачи