В трапеции ABCD основания АD и ВС равны соответственно 36 см и 12 см, а сумма углов при основании АD равна 90º
Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СD, если АВ=10 см
По условию сумма углов при основании АD равна 90º.
Продолжив боковые стороны трапеции до пересечения в точке К, получим треугольник АКD, в котором угол АКD=180º-90º=90º.
Треугольник АКD - прямоугольный
Сделаем и рассмотрим рисунок.
ВС||АD, АК и КD при них - секущие, отсюда ∠ КСВ и ∠КDА равны по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей, следовательно, треугольники ВКС и АКD - подобны.
Коэффициент подобия АD:ВС=36:12=3
Тогда АК:ВК=3
АК=АВ+ВК
(АВ+ВК):ВК=3
10+ВК=3ВК
2ВК=10 см
ВК=5 см
Обозначим точку касания окружности и прямой СD буквой М
Соединим центр окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны.
Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, т.к. АО и ОВ - радиусы.
Проведем в нем высоту ОН. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и его медианой. Следовательно,
НВ= AH =5.
Рассмотрим четырехугольник НКМО. Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.
МО - радиус окружности.
НК=НВ+ВК=5+5=10 см
МО=НК=10 см
Радиус окружности равен 10 см.
