Только то, что выделено желтым

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

По теореме Виета для квадратного уравнения:
x²+bx+c=0

$\left \{ {{x_1+x_2=-b} \atop {x_1*x_2=c}} \right.$
где x₁ и х₂ - корни уравнения

значит

$\left \{ {{x_1+x_2=-( \sqrt{5} - \sqrt{3}) } \atop {x_1*x_2=- \sqrt{15} }} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{x_1+x_2=\sqrt{3} - \sqrt{5}} \atop {x_1*x_2=- \sqrt{15} }} \right.$

а) требуется найти x₁²+x₂²
дополним это выражение до полного квадрата:
x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁х₂ -2x₁х₂=(x₁+х₂)²-2x₁х₂
теперь подставляем, что нам известно:

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=( \sqrt{3}- \sqrt{5})^2 -2*(- \sqrt{15} )=3-2 \sqrt{5} \sqrt{3} +5+\\ \\+ 2 \sqrt{15} =3-2 \sqrt{15} +5+ 2 \sqrt{15} =3+5=8 \\ \\ OTBET: \ x_1^2+x_2^2=8$

б) требуется найти сумму кубов:
x₁³+х₂³
разложим на множители по формуле суммы кубов:

x₁³+х₂³=(x₁+х₂)(x₁²-x₁х₂+х₂²)=
преобразуем вторую скобку, так чтобы получился полный квадрат СУММЫ
=(x₁+х₂)(x₁²-x₁х₂+х₂²+2x₁х₂-2x₁х₂)=(x₁+х₂)(x₁²+2x₁х₂+х₂²-3x₁х₂)=
=(x₁+х₂)((x₁+х₂)²-3x₁х₂)
подставляем значения:

$(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=( \sqrt{3}- \sqrt{5})(( \sqrt{3}- \sqrt{5})^2-3(- \sqrt{15} )= \\ \\ =( \sqrt{3}- \sqrt{5})(3-2 \sqrt{15}+5+3 \sqrt{15} )= ( \sqrt{3}- \sqrt{5})(8+ \sqrt{15} )= \\ \\ =8 \sqrt{3} + \sqrt{45} -8 \sqrt{5} - \sqrt{75} =8 \sqrt{3} +3 \sqrt{5} -8 \sqrt{5} - 5\sqrt{3} =3 \sqrt{3} -5 \sqrt{5} \\ \\ OTBET: \ x_1^3+x_2^3=3 \sqrt{3} -5 \sqrt{5}$

Alexandr130398_zn (25.8k баллов) 10 Май, 18