Найти частное решение дифференциального уравнения x2y’=(2y-1)sin1/x , y=(1/п)=1

Question 1

Найти частное решение дифференциального уравнения
x2y’=(2y-1)sin1/x , y=(1/п)=1

Question 2

Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно $y':$
$y'= \dfrac{(2y-1)\sin \frac{1}{x} }{x^2}$
Воспользуемся определением дифференциала:
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(2y-1)\sin \frac{1}{x} }{x^2}$ - уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные:
$\dfrac{dy}{2y-1} = \dfrac{\sin \frac{1}{x}}{x^2} \,dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
$\int \dfrac{dy}{2y-1} =\int \dfrac{\sin \frac{1}{x} }{x^2} \, dx$
Внесем под знак дифференциала
$\int \dfrac{dy}{2y-1} =-\int \sin \frac{1}{x}\,\, d(\frac{1}{x})$

$\dfrac{1}{2} \ln|2y-1|=\cos \dfrac{1}{x}+C$ - общий интеграл

Найдем решение задачи Коши:
$\dfrac{1}{2} \ln|2\cdot1 -1|=\cos \dfrac{1}{ \frac{1}{ \pi } }+C\\ \\ C+\cos \pi =0\\ C-1=0\\ C=1$

$\dfrac{1}{2} \ln|2y-1|=\cos \dfrac{1}{x}+1$ - частное решение.

аноним · Answer 1 · 2018-05-10T02:22:12+0000

Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно $y':$
$y'= \dfrac{(2y-1)\sin \frac{1}{x} }{x^2}$
Воспользуемся определением дифференциала:
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(2y-1)\sin \frac{1}{x} }{x^2}$ - уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные:
$\dfrac{dy}{2y-1} = \dfrac{\sin \frac{1}{x}}{x^2} \,dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
$\int \dfrac{dy}{2y-1} =\int \dfrac{\sin \frac{1}{x} }{x^2} \, dx$
Внесем под знак дифференциала
$\int \dfrac{dy}{2y-1} =-\int \sin \frac{1}{x}\,\, d(\frac{1}{x})$

$\dfrac{1}{2} \ln|2y-1|=\cos \dfrac{1}{x}+C$ - общий интеграл

Найдем решение задачи Коши:
$\dfrac{1}{2} \ln|2\cdot1 -1|=\cos \dfrac{1}{ \frac{1}{ \pi } }+C\\ \\ C+\cos \pi =0\\ C-1=0\\ C=1$

$\dfrac{1}{2} \ln|2y-1|=\cos \dfrac{1}{x}+1$ - частное решение.