Геометрическая прогрессия. Положительные числа х1, х2, х3, х4 – корни уравнения:...

Question

Геометрическая прогрессия. Положительные числа х1, х2, х3, х4 – корни уравнения: x^2-12x+a=0; х3 и х4 – корни уравнения x^2-3x+b=0. Найдите a и b.

Answer 1

Положительные числа x₁  ; x ₂ ; x ₃  ; x₄ оставляют геометрическую прогрессию   x₁ ; x₁q ; x₁q² ; x₁q³  ,   x₁  , q  > 0. ;

x² -12x +a =0 ;   x₁+ x₁q =12   , a =x₁* x₁q = x₁²q  ;
x² -3x +b =0 ;   x₁q²+ x₁q³ =3  , b =x₁q² *x₁q³ =x₁².q⁵ .

{ x₁+ x₁q =12 ;  x₁q²+ x₁q³ =3 .⇔{ x₁(1+ q) =12 ;  x₁q²(1+ q)  =3 .
q² =3/12 ⇒q =1/2   (q>0)
x₁ =12/(1+q) =12/(1+1/2)  8 .
8 ; 4; 2 ; 1 
a = x₁²q  =8²*1/2 =32      [   x² -12x +32 =0 ]
b =x₁².q⁵= 8² *(1/2)⁵ =2 .  [   x² -3x + 2 =0 ].

ответ : a=32  ; b =2.