Решить неравенство: logx-5 8>3

Question

Решить неравенство: logx-5 8>3

Answer 1

Log_(x-5) 8>3

ОДЗ: x-5>0 (⇒ x>5); x-5≠1 (⇒x≠6)

(log_2 8)/log_2 (x-5)>3;

3/log_2 (x-5)>3;

1/log_2(x-5)>1;

если log_2 (x-5)<0, левая часть отрицательна⇒неравенство не выполнено⇒log_2 (x-5)>0 (то есть x-5>1; x>6)⇒неравенство можно домножить на него⇒ 
 log_2 (x-5)<1; x-5<2; x<7<br>
Ответ: (6;7)

Замечание, Есть способ, как решить задачу намного проще. 

Оказывается, неравенство log_a b> log_a c равносильно на ОДЗ неравенству  
                                               (a-1)(b-c)>0

Записываем наше неравенство в виде 3log_(x-5) 2>3;
log_(x-5) 2>log_(x-5) (x-5);
                             
                            (x-5-1)(2-(x-5))>0;
(x-6)(7-x)>0; x∈(6;7)

Answer 2

Метод рационализации
(x - 5 - 1)(8 - (x - 5)^3) > 0
8 >  0
x -  5 >  0
x - 5 ≠ 1 

(x - 6)(2^3 - (x - 5)^3) > 0
x > 5 
x ≠ 6

(x - 6)(x - 7)(x^2 - 8x + 19) < 0 
x > 5 
x ≠ 6

x ∈ (6; 7)