Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А( 2; 3; 4) B(3; -4 ;2) C( 1; 2; 4)...

Уравнение плоскости будем искать в следующем виде

$Px + Qy + Rz = 1$

Тогда получаем систему

$\displaystyle \left\{ \begin{aligned} & 2P + 3Q + 4R = 1\\ & 3P - 4Q + 2R = 1\\ & P + 2Q + 4R = 1 \end{aligned} \right.$

Найдем ее корни методом Крамера

$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2&3&4\\3&-4&2\\1&2&4\end{array}\right| = -30\\\\ \Delta_P = \left|\begin{array}{ccc}1&3&4\\1&-4&2\\1&2&4\end{array}\right| = -2\\\\ \Delta_Q = \left|\begin{array}{ccc}2&1&4\\3&1&2\\1&1&4\end{array}\right| =2\\\\ \Delta_R = \left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\3&-4&1\\1&2&1\end{array}\right| = -8$

Отсюда

$\displaystyle \frac{\Delta_P}{\Delta}x+\frac{\Delta_Q}{\Delta}y + \frac{\Delta_R}{\Delta}z = 1\\\\ \Delta_P x + \Delta_Q y + \Delta_R z = \Delta\\\\ x - y +4z = 15$